Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh

83/234

Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AC, BC; $P$ là trọng tâm tam giác BCD.Mặt phẳng $(MNP)$ cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích là

$\frac{{{a^2}\sqrt {11} }}{2}$

$\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}$

$\frac{{{a^2}\sqrt {11} }}{4}$

$\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$

Giải thích

Phương pháp giải:

Xác định thiết diện là một tam giác cân và tính diện tích tam giác đó.

Giải chi tiết:

Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh (ảnh 1)

N, P, D thẳng hàng.

Do đó, thiết diện của mặt phẳng $(MNP)$ với tứ diện là tam giác MND

\[MN = \frac{{AB}}{2} = a.\]

Vì ABCD là tứ diện đều nên:

\[DM = DN = \frac{{AD\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 .\]

Suy ra tam giác MND cân tại $D$.

Gọi $H$ là trung điểm của $MN$ thì:

\[DH \bot MN.\]

Ta có:

\[DH = \sqrt {D{M^2} - M{H^2}} = \sqrt {{{(a\sqrt 3 )}^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {3{a^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} = \sqrt {\frac{{11{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt {11} }}{2}.\]

Diện tích tam giác $MND$ là:

\[{S_{MND}} = \frac{1}{2}{\mkern 1mu} MN \cdot DH = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{{a\sqrt {11} }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt {11} }}{4}.\]

Vậy diện tích thiết diện là $\frac{{{a^2}\sqrt {11} }}{4}$. Chọn C.