Mỗi kết quả của phép thử là một cách chọn \(7\) bóng trong \(21\) bóng đôi một khác nhau rồi gắn vào \(7\) vị trí phân biệt, nên:

\(n\left( {\rm{\Omega }} \right) = A_{21}^7 = 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 = 586\,051\,200\).

Vị trí \(O\) kề với cả sáu vị trí \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D,\,\,E,\,\,F\) nên màu ở \(O\) khác màu ở cả sáu đỉnh.

Vì chỉ có ba màu nên sáu đỉnh chỉ dùng hai màu còn lại; mặt khác \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D,\,\,E,\,\,F\) tạo thành một chu trình mà hai vị trí kề nhau khác màu, nên hai màu đó phải xen kẽ: \(A,\,\,C,\,\,E\) cùng một màu và \(B,\,\,D,\,\,F\) cùng màu kia.

Số cách chọn cách tô màu như vậy là \(3 \cdot 2 = 6\) (chọn màu cho \(O\), rồi chọn màu cho bộ \(A,C,E\)).

Ký hiệu \(a,\,\,c,\,\,e,\,\,b,\,\,d,\,\,f,\,\,o\) lần lượt là số ghi trên bóng đèn ở các vị trí \(A,\,\,C,\,\,E,\,\,B,\,\,D,\,\,F,\,\,O.\)

Ba bóng ở \(A,\,\,C,\,\,E\) cùng màu và đôi một khác nhau nên \(a,\,\,c,\,\,e\) đôi một khác nhau; tương tự với \(b,\,\,d,\,\,f\).

Điều kiện ba số trên mỗi đường chéo đôi một khác nhau tương đương với: \(o\) khác cả sáu số còn lại, đồng thời \(a \ne d,\,\,b \ne e,\,\,c \ne f\).

Số \(o\) có \(7\) cách chọn.

Đặt \(S = \left\{ {1;\,\,2; \ldots ;\,\,7} \right\}\backslash \left\{ o \right\}\).

Khi đó \(\left| S \right| = 6\) và bộ \(\left( {a;\,\,c;\,\,e} \right)\) là một chỉnh hợp chập \(3\) của \(S\): có \(6 \cdot 5 \cdot 4 = 120\) cách.

Với mỗi bộ \(\left( {a;\,\,c;\,\,e} \right)\) đã chọn, ta đếm số chỉnh hợp chập \(3\) của \(S\) dạng \(\left( {d;\,\,b;\,\,f} \right)\) thỏa mãn \(d \ne a,\,\,b \ne e,\,\,f \ne c\); gọi số đó là \(N\).

Áp dụng nguyên lý bù trừ như sau:

• Đếm số bộ \(\left( {d;\,\,b;\,\,f} \right)\): Gọi \({X_1},\,\,{X_2},\,\,{X_3}\) lần lượt là tập các chỉnh hợp có \(d = a\), có \(b = e\), có \(f = c\).

Ta có \(\left| {{X_i}} \right| = 5 \cdot 4 = 20\), \(\left| {{X_i} \cap {X_j}} \right| = 4\) và \(\left| {{X_1} \cap {X_2} \cap {X_3}} \right| = 1\), nên:

\(\left| {{X_1} \cup {X_2} \cup {X_3}} \right| = 3 \cdot 20 - 3 \cdot 4 + 1 = 49\).

Vậy \(N = 120 - 49 = 71\).

• Tính xác suất: Số kết quả thuận lợi là: \(6 \cdot 7 \cdot 120 \cdot 71 = 357\,840\).

Do đó \(P = \frac{{357\,840}}{{586\,051\,200}} = \frac{{71}}{{116\,280}}\).

Phân số này tối giản vì \(71\) là số nguyên tố và \(116\,280\) không chia hết cho \(71\).

Với \(m = 71\) và \(n = 116\,280\),

\(n - 22{m^2} = 116\,280 - 22 \cdot {71^2} = 116\,280 - 110\,902 = 5378\).

Đáp án: 5378.

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính tích vô hướng véc-tơ AB · véc-tơ AC