Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng $a,M$ là trung điểm cạnh $BC$, $N$ là trung điểm của $AC$. Khi đó:

16/22

$MN//AB$

ĐúngSai

$MD = ND = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

ĐúngSai

$(AB,DM) = (MN,DM)$

ĐúngSai

$\cos (AB,DM) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$

ĐúngSai

Giải thích

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

$Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng $a,M$ là trung điểm cạnh $BC$, $N$ là trung điểm của $AC$. Khi đó: (ảnh 1)$

Gọi $N$ là trung điểm của $AC$ nên $MN$ là đường trung bình của $\Delta ABC$

$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{MN//AB(*)}\\{MN = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}}\end{array}} \right.$

Vì $\Delta BCD$ và $\Delta ACD$ là các tam giác đều cạnh bằng $a$ nên $MD = ND = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Từ $(*)$ suy ra: $(AB,DM) = (MN,DM)$.

Xét $\Delta MND$, ta có:

$\cos \widehat {DMN} = \frac{{M{N^2} + M{D^2} - N{D^2}}}{{2MN \cdot MD}} = \frac{{{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}{{2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{6} > 0$

$ \Rightarrow \widehat {DMN}$ là góc nhọn.

Vậy $(AB,DM) = (MN,DM) = \widehat {DMN}$ nên $\cos (AB,DM) = \frac{{\sqrt 3 }}{6}$.

Đề kiểm tra Hai đường thẳng vuông góc (có lời giải) - Đề 3

Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(a,M\) là trung điểm cạnh \(BC\), \(N\) là trung điểm của \(AC\). Khi đó: