Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và E là điểm

Mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối chứa điểm A có thể tích V. Gọi thể tích của phần đa diện còn lại là V'

Gọi F = EM Ç AD; G = EN Ç CD

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác BCD có:

NBNC . GCGD . EDEB=1⇒GCGD=2

 Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ABD có: 

MAMB . EBED . FDFA=1⇒FDFA=12

Ta có:

SΔEBN=12dE; BN . BN=12 . 2dD; BC . 12BC

=12 . dD; BC . BC=SΔBCD

Do  dM; EBN=12dA; BCD⇒VM.EBN=12VA.BCD

SΔEDG=12dG; DE . DE=12 . 13dC; BD . BD

=13 . 12dC; BD . BD=SΔBCD

Do  dF; EDG=13dA; BCD⇒VF.EDG=19VA.BCD

Suy ra  V'=VF.EDG−VM.EBN=VABCD2−VABCD9=718VABCD

⇒V=1118VABCD

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD ta có:

AH ^ (BCD) và  BH=23 . a32=a33

⇒AH=a2−a332=a63

Suy ra   VABCD=13AH . SBCD=13 . a63 . a234=a3212

 ⇒V=1118 . a3212=112a3216.