Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 2a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi \[M,{\rm{ }}N\] lần lượt là trung điểm của \[AB\] và \[CD\].

Tam giác \[CND\] cân tại \[N\] \[ \Rightarrow MN \bot CD\] (1)

Tam giác \[AMB\] cân tại \[M\] \[ \Rightarrow MN \bot AB\](2)

Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow \] \[MN\] là đường vuông góc chung của hai đường thẳng \[AB\] và \[CD\] \[ \Rightarrow d(AB,{\rm{ }}CD){\rm{  =  }}MN\]

Ta có \[MD = \frac{{CD}}{2} = a\]; \[ND = a\sqrt 3 \]

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông \[NMD\] ta có:

\[MN = \sqrt {N{D^2} - M{D^2}}  = \sqrt {{{(a\sqrt 3 )}^2} - {a^2}}  = a\sqrt 2 \]

Vậy \[d(AB,{\rm{ }}CD){\rm{=}}a\sqrt 2 \].