Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng 1. Trên các mặt phẳng

17/22

Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng $1$. Trên các mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$, $\left( {CDA} \right)$, $\left( {DAB} \right)$, $\left( {ABC} \right)$ lần lượt lấy các điểm ${A_1}$, ${B_1}$, ${C_1}$, ${D_1}$ sao cho các đường thẳng ${A_1}{B_1}$, ${B_1}{C_1}$, ${C_1}{D_1}$, ${D_1}{A_1}$ lần lượt vuông góc với các mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$, $\left( {CDA} \right)$, $\left( {DAB} \right)$, $\left( {ABC} \right)$. Biết thể tích khối tứ diện ${A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ bằng $\frac{a}{b}\sqrt 2 $ với $a$, $b$ là các số nguyên dương và phân số $\frac{a}{b}$ tối giản. Tính $a + b$.

Giải thích

Đáp án: $163$.

Gọi $O$ là trọng tâm của tứ diện đều $ABCD$.

Theo giả thiết, ta có $OA \bot \left( {BCD} \right)$ nên $OA{\rm{//}}\overrightarrow {{A_1}{B_1}} $$ \Rightarrow \overrightarrow {{A_1}{B_1}} = {k_1}\overrightarrow {OA} $.

Tương tư: $\overrightarrow {{B_1}{C_1}} = {k_2}\overrightarrow {OB} $, $\overrightarrow {{C_1}{D_1}} = {k_3}\overrightarrow {OC} $ và $\overrightarrow {{D_1}{A_1}} = {k_4}\overrightarrow {OD} $.

Ta có $\overrightarrow {{A_1}{B_1}} + \overrightarrow {{B_1}{C_1}} + \overrightarrow {{C_1}{D_1}} + \overrightarrow {{D_1}{A_1}} = \overrightarrow 0 $\[ \Leftrightarrow {k_1}\overrightarrow {OA} + {k_2}\overrightarrow {OB} + {k_3}\overrightarrow {OC} + {k_4}\overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \].

Vì $O$ là trọng tâm của tứ diện $ABCD$ nên suy ra $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 $

Hay ${k_1}\overrightarrow {OA} + {k_1}\overrightarrow {OB} + {k_1}\overrightarrow {OC} + {k_1}\overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 $

$ \Rightarrow \left( {{k_1} - {k_2}} \right)\overrightarrow {OB} + \left( {{k_1} - {k_3}} \right)\overrightarrow {OC} + \left( {{k_1} - {k_4}} \right)\overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 $. $\left( * \right)$

Do các vecto $\overrightarrow {OB} $, $\overrightarrow {OC} $ và $\overrightarrow {OD} $ không đồng phẳng nên $\left( * \right) \Leftrightarrow {k_1} = {k_2} = {k_3} = {k_4} = k$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho $A\left( {1;1;1} \right)$, $B\left( {1; - 1; - 1} \right)$, $C\left( { - 1;1; - 1} \right)$ và $D\left( { - 1; - 1;1} \right)$.

$Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng 1. Trên các mặt phẳng (ảnh 1)$

Khi đó: \[AB = BC = CD = DA = AC = BD = 2\sqrt 2 \].

Vì tứ diện $ABCD$ có cạnh bằng $1$ nên $1$ đơn vị trên trên trục bằng $2\sqrt 2 $đơn vị độ dài.

Ta có :

$\left( {BCD} \right)$ : $x + y + z + 1 = 0$

$\left( {CDA} \right):x - y - z + 1 = 0$.

$\left( {DAB} \right): - x + y - z + 1 = 0$.

$\left( {ABC} \right): - x - y + z + 1 = 0$.

Gọi ${A_1}\left( {x;y;z} \right)$

Vì $\overrightarrow {{A_1}{B_1}} = k\overrightarrow {OA} $\[ \Rightarrow {B_1}\left( {x + k;y + k;z + k} \right)\].

Tương tụ ${C_1}\left( {x + 2k;y;z} \right)$ và ${D_1}\left( {x + k;y + k;z - k} \right)$.

Ta có hệ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + z + 1 = 0}\\{x + k - \left( {y + k} \right) - \left( {z + k} \right) + 1 = 0}\end{array}}\\{ - \left( {x + 2k} \right) + y - k + 1 = 0}\end{array}}\\{ - \left( {x + k} \right) - \left( {y + k} \right) + z - k + 1 = 0}\end{array}} \right.$$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x = - \frac{2}{3}}\\{y = - \frac{1}{3}}\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{z = 0}\\{k = \frac{2}{3}}\end{array}}\end{array}} \right.$.

Vậy $\overrightarrow {{A_1}{B_1}} = \left( {\frac{2}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3}} \right)$, $\overrightarrow {{B_1}{C_1}} = \left( {\frac{2}{3}; - \frac{2}{3}; - \frac{2}{3}} \right)$ và $\overrightarrow {{C_1}{D_1}} = \left( { - \frac{2}{3};\frac{2}{3}; - \frac{2}{3}} \right)$.

Suy ra $V = \frac{1}{6}\left| {\overrightarrow {{A_1}{B_1}} \cdot \left[ {\overrightarrow {{B_1}{C_1}} ,\overrightarrow {{C_1}{D_1}} } \right]} \right| = \frac{{16}}{{81}}$ (đơn vị thể tích trên trục)

Do đó $V = \frac{{16}}{{81}} \cdot {\left( {\frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)^3} = \frac{{\sqrt 2 }}{{162}}$ (đơn vị thể tích)

Vậy $a + b = 163$

Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 THPT Chuyên Hạ Long lần 01 có đáp án

Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng 1. Trên các mặt phẳng