Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. Tính tích vô hướng vectơ AB ⋅ (4 vectơ BC + 3 vectơ CD).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −2

Ta có \(\overrightarrow {AB} \cdot \left( {4\overrightarrow {BC} + 3\overrightarrow {CD} } \right)\)\( = 4\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} + 3\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} \)

Dễ dàng chứng minh được \(\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {CD} \) nên \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} = 0\).

Do đó \(\overrightarrow {AB} \cdot \left( {4\overrightarrow {BC} + 3\overrightarrow {CD} } \right) = 4\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} \)\( = - 4\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} \)\[ = - 4\left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right)\]

\[ = - 4 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos 60^\circ = - 2\].