Cho tứ diện đều \(ABCD\) có các cạnh bằng \(a\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của

Gọi \(P\) là trung điểm của \(AC\)

Ta có: \(MP//BC \Rightarrow (MN,BC) = (MN,MP) = \widehat {PMN}\)

Ta có: \(\Delta ABN\) cân tại \(N\) có \[NM\] là trung tuyến nên là đường cao

\( \Rightarrow MN = \sqrt {B{N^2} - M{B^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt 2 }}{2}a\)

Xét \(\Delta MNP\) có: \(\cos \widehat {PMN} = \frac{{M{P^2} + M{N^2} - N{P^2}}}{{2 \cdot MP \cdot MN}} = \frac{{{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}a} \right)}^2}}}{{2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2}a}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Suy ra PMN^=45°