Cho tứ diện đều \(ABCD\) có các cạnh bằng \(a\). Gọi \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm các cạnh

24/45

Cho tứ diện đều \(ABCD\) có các cạnh bằng \(a\). Gọi \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB\) và \(CD\). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {CM} \cdot \overrightarrow {AN} .\)

\( - \frac{1}{3}{a^2}.\)

\( - \frac{1}{6}{a^2}.\)

\( - \frac{1}{2}{a^2}.\)

\( - \frac{1}{8}{a^2}.\)

Giải thích

Ta có: \[\overrightarrow {CM} \cdot \overrightarrow {AN} = \left( {\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AC} } \right) \cdot \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)\]

\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {AC} - {{\overrightarrow {AC} }^2} + \overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AD} } \right)\)\( = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{a^2}}}{4} - {a^2} + \frac{{{a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{2}} \right) = \frac{{ - 1}}{2}{a^2}\). Chọn C.