Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CI, với I là trung điểm của AD.

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải.

Vẽ hình, gọi H là trung điểm của BD.

Góc giữa hai đường thẳng AB và CI là góc \(\widehat {CIH}\).

Áp dụng định lý cosin trong tam giác CIH để tính \(\cos \widehat {CIH}\).

Lời giải chi tiết.

Gọi H là trung điểm của BD.

Khi đó IH là đường trung bình của tam giác ABD.

Suy ra \(IH\parallel AB \Rightarrow (AB,CI) = (IH,CI) = \widehat {CIH}\).

Ta có CH, CI tương ứng là các đường trung tuyến của tam giác đều BCD, ACD cạnh a nên \(CH = CI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\), \(HI = \frac{{AB}}{2} = \frac{a}{2}\).

Khi đó\(\cos \widehat {CIH} = \frac{{I{H^2} + I{C^2} - C{H^2}}}{{2IH \cdot IC}} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{3{a^2}}}{4} - \frac{{3{a^2}}}{4}}}{{2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{1}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{3}.\)