Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp

87/235

Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\). Gọi \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta BCD\). Gọi \(M\) là trung điểm \(CD\). Tính cosin góc của \(AC\) và \(BM\).

\(\frac{{\sqrt 3 }}{4}\).

\(\frac{{\sqrt 3 }}{6}\).

\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Giải thích

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính cosin giữa hai đường thẳng

Lời giải

\({\rm{cos}}\left( {\widehat {AC,BM}} \right) = \left| {{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BM} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BM} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AC} \left| . \right|\overrightarrow {BM} } \right|}} = \frac{{\left| {\overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {CM} - \overrightarrow {CB} } \right)} \right|}}{{a.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}\)

\( = \frac{{|\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CM} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} |}}{{\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{\left| {a.\frac{a}{2}\cos {{120}^^\circ } - a.a.\cos {{120}^^\circ }} \right|}}{{\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{\left| { - \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{2}} \right|}}{{\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{4}}}{{\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\)