Cho tứ diện đều ABCD cạnh 3. G là trọng tâm tam giác BCD. Mặt phẳng qua A, G và song song với BC cắt BD, DC lần lượt tại M, N. Tính độ dài đoạn thẳng MN.

Đáp án: 2

Gọi (α) là mặt phẳng qua A, G và song song với BC.

Vì (α) và (BCD) có G chung; (α) ∥ BC, BC ⊂ (BCD) nên giao tuyến của (α) và (BCD) là đường thẳng qua G và song song với BC, cắt BD, DC lần lượt tại M, N.

Suy ra MN ∥ BC.

Gọi I là trung điểm BC, khi đó DI là đường trung tuyến của tam giác BCD, có G là trong tâm tam giác ⇒ \(\frac{{DG}}{{DI}} = \frac{2}{3}\).

Xét △DBC: \(\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{DG}}{{DI}} = \frac{2}{3}\) ⇒ MN = \(\frac{2}{3}\)BC = \(\frac{{2 \cdot 3}}{3}\) = 2.