Cho tứ diện đều A B C D có tất cả các cạnh đều bằng a . Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng ( A B C ) và ( B C D ) .

10/20

Cho tứ diện đều \(ABCD\) có tất cả các cạnh đều bằng \(a\). Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\).

\(\cos \alpha = \frac{1}{6}\).

\(\cos \alpha = \frac{1}{3}\).

\(\cos \alpha = \frac{1}{4}\).

\(\cos \alpha = \frac{1}{2}\).

Giải thích

Đáp án đúng là: B

Cho tứ diện đều A B C D có tất cả các cạnh đều bằng a . Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng ( A B C ) và ( B C D ) . (ảnh 1) Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\).

Vì \(\Delta ABC,\Delta BCD\) đều nên \(AH \bot BC,DH \bot BC\).

Do đó \(\left( {\left( {ABC} \right),\left( {DBC} \right)} \right) = \widehat {AHD}\).

Có \(AH = DH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Xét \(\Delta AHD\) có \(\cos \widehat {AHD} = \frac{{A{H^2} + D{H^2} - A{D^2}}}{{2.AH.DH}} = \frac{{\frac{{3{a^2}}}{4} + \frac{{3{a^2}}}{4} - {a^2}}}{{2.\frac{{3{a^2}}}{4}}} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{2}}}{{\frac{{3{a^2}}}{2}}} = \frac{1}{3}\).