Cho tứ diện đều A B C D có độ dài các cạnh bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh A C , B C ; P là trọng tâm tam giác B C D . Mặt phẳng ( M N P ) cắt tứ diện theo một

100/100

Cho tứ diện đều $ABCD$ có độ dài các cạnh bằng $a$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AC$, $BC$; $P$ là trọng tâm tam giác $BCD$. Mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích là

$\frac{{{a^2}\sqrt {11} }}{4}$

$\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}$.

$\frac{{{a^2}\sqrt {11} }}{{16}}$.

$\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$.

Giải thích

$Cho tứ diện đều $ABCD$ có độ dài các cạnh bằng $a$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AC$, $BC$; $P$ là trọng tâm tam giác $BCD$. Mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích là A. $\frac{{{a^2}\sqrt {11} }}{4}$ B. $\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}$. C. $\frac{{{a^2}\sqrt {11} }}{{16}}$. D. $\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$. (ảnh 1)$

Trong tam giác $BCD$ có: $P$ là trọng tâm, $N$ là trung điểm $BC$. Suy ra $N,P,D$ thẳng hàng.

Vậy thiết diện là tam giác $MND$.

Xét tam giác $MND$, ta có $MN = \frac{{AB}}{2} = \frac{a}{2};DM = DN = \frac{{AD\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Do đó tam giác $MND$ cân tại $D$.

Gọi $H$ là trung điểm $MN$ suy ra $DH \bot MN,MH = \frac{a}{4}$.

Diện tích tam giác .

Chọn C