Cho tứ diện đều A B C D có cạnh bằng 4 và hình trụ ( T ) có đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác B C D và có chiều cao bằng chiều cao của tứ diện đều A B C D . Mỗi phát biểu

Đáp án

Phát biểu	ĐÚNG	SAI
Thể tích khối tứ diện đều \(ABCD\) bằng \(\frac{{8\sqrt 2 }}{3}\).		X
Bán kính đáy của hình trụ \(\left( T \right)\) bằng \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).		X
Diện tích xung quanh của hình trụ \(\left( T \right)\) bằng \(\frac{{16\sqrt 2 }}{3}\pi \).	X

Giải thích

Thể tích khối tứ diện \(ABCD\) là: \(V = \frac{{{4^3}\sqrt 2 }}{{12}} = \frac{{16\sqrt 2 }}{3}\)

Gọi \(I\) là trọng tâm tam giác \(BCD\).

Tam giác \(BCD\) đều cạnh bằng 4 nên \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(BCD\) và

\(BM = \frac{{4\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 3  \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BI = \frac{2}{3}BM = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}}\\{r = IM = \frac{1}{3}BM = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}}\end{array}} \right.\)

Vì \(AI\) là đường cao của tứ diện đều \(ABCD\) nên \(AI = \sqrt {A{B^2} - I{B^2}}  = \frac{{4\sqrt 6 }}{3}\)

Vậy diện tích xung quanh hình trụ \({S_{xq}} = 2\pi rh = \frac{{16\sqrt 2 }}{3}\pi \).