Cho tứ diện đều A B C D cạnh a . Gọi M và P là hai điểm di dộng trên các cạnh AD và BC , sao cho MA = PC = x ( 0 < x < a ) . Mặt phẳng ( α ) qua M P song song với CD cắt A

a) Ta có \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( \alpha  \right) \cap \left( {ACD} \right) = MN}\\{CD\,{\rm{//}}\,\left( \alpha  \right)}\\{CD \subset \left( {ACD} \right)}\end{array}} \right.\] suy ra \[MN\,{\rm{//}}\,CD\] Tương tự \[\left( \alpha  \right) \cap \left( {BCD} \right) = PQ\,{\rm{//}}\,CD\] Vì \[MN\,{\rm{//}}\,CD\,{\rm{//}}\,PQ\] nên thiết diện \(MNPQ\) là hình thang. Ta có \(DQ = CP = x\), \(DM = a - x\).

Áp dụng định lý côsin trong tam giác \(DMQ\), ta có

\(MQ = \sqrt {D{M^2} + D{Q^2} - 2DM.DQ\cos 60^\circ }  = \sqrt {3{x^2} - 3ax + {a^2}} \)

Tương tự ta cũng tính được \[NP = \sqrt {3{x^2} - 3ax + {a^2}} \].

Suy ra \[MQ = NP\].

Vậy thiết diện \(MNPQ\) là hình thang cân.

b) Tam giác \(ACD\) đều có \(MN\,{\rm{//}}\,CD\) nên tam giác \(AMN\) cũng đều nên \(MN = AM = x\)

Tam giác \(BCD\) đều có \(PQ\,{\rm{//}}\,CD\) nên tam giác \(BPQ\) cũng đều nên \(PQ = BP = a - x\).

Trong hình thang cân \(MNPQ\), hạ \(NH\) vuông góc với \(PQ\) và tìm được \(NH = \frac{1}{2}\sqrt {8{x^2} - 8ax + 3{a^2}} \).

Do đó \[{S_{MNPQ}} = \frac{1}{2}\left( {MN + PQ} \right).NH\]

\[ = \frac{1}{2}\left[ {x + \left( {a - x} \right)} \right].\frac{1}{2}\sqrt {8{x^2} - 8ax + 3{a^2}} \]

\[ = \frac{1}{4}a\sqrt {8{x^2} - 8ax + 3{a^2}} \]

\( = \frac{1}{4}a\sqrt {8{{\left( {x - \frac{a}{2}} \right)}^2} + {a^2}}  \ge \frac{{{a^2}}}{4}\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: \[x = \frac{a}{2}\].

Vậy diện tích hình thang \(MNPQ\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \[\frac{{{a^2}}}{4}\] khi \[x = \frac{a}{2}\].