Cho tứ diện ABCD  và các điểm M, N ,P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh BD, BC, AC sao cho BD = 2BM, BC = 4BN, AC = 3AP.

Đáp án đúng là "7/13"

Phương pháp giải

Áp dụng định lý Menelaus

Cho tam giác \(ABC\) và ba điểm \(M,N,P\) nằm lần lượt trên ba đường thẳng \(BC,CA,AB\). Khi đó ba điểm \(M,N,P\) thẳng hàng khi và chỉ khi \(\frac{{MB}}{{MC}}.\frac{{NC}}{{NA}}.\frac{{PA}}{{PB}} = 1\).

Lời giải

Trong mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) gọi \(I\) là giao điểm của \(MN\) và \(CD,Q\) là giao điểm của \(IP\) và \(AD\).

\( \Rightarrow AD\) cắt mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) tại \(Q\).

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác \(BCD\) có ba điểm \(N,M,I\) thẳng hàng.

\(\frac{{NB}}{{NC}}.\frac{{IC}}{{ID}}.\frac{{MD}}{{MB}} = 1 \Rightarrow \frac{{IC}}{{ID}} = 3\).

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ACD có ba điểm P, I, Q thẳng hàng.

\(\frac{{PA}}{{PC}}.\frac{{IC}}{{ID}}.\frac{{QD}}{{QA}} = 1 \Rightarrow \frac{{QD}}{{QA}} = \frac{2}{3}\)

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ICN có ba điểm D, M, P thẳng hàng.

\(\frac{{DC}}{{DI}}.\frac{{MI}}{{MN}}.\frac{{BN}}{{BC}} = 1 \Rightarrow \frac{{MI}}{{MN}} = 2\)

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác IPC có ba điểm D, Q, A thẳng hàng.

\(\frac{{DC}}{{DI}}.\frac{{QI}}{{QP}}.\frac{{AP}}{{AC}} = 1 \Rightarrow \frac{{IQ}}{{QP}} = \frac{3}{2}\)

Áp dụng công thức tính tỉ số thể tích ta có:

\(\frac{{{V_{IMQD}}}}{{{V_{INPC}}}} = \frac{{IQ}}{{IP}}.\frac{{IM}}{{IN}}.\frac{{ID}}{{IC}} = \frac{3}{5}.\frac{2}{3}.\frac{1}{3} = \frac{2}{{15}}\,\,\,(1)\)

\(\frac{{{V_{INPC}}}}{{{V_{ABCI}}}} = \frac{{CN}}{{CP}}.\frac{{CP}}{{CA}} = \frac{3}{4}.\frac{2}{3} = \frac{1}{2}\,\,\,\,(2);\frac{{{V_{ABCI}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \frac{{CI}}{{CD}} = \frac{3}{2}\,\,\,(3)\)

Từ (1), (2) và (3) \( \Rightarrow \frac{{{V_{INPC}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \frac{3}{4},\frac{{{V_{IMQD}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \frac{3}{4}.\frac{2}{{15}} = \frac{1}{{10}}\)

\( \Rightarrow \frac{{{V_{CDMNPQ}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \frac{3}{4} - \frac{1}{{10}} = \frac{{13}}{{20}} \Rightarrow \frac{{{V_{ABMNPQ}}}}{{{V_{ABCD}}}} = 1 - \frac{{13}}{{20}} = \frac{7}{{20}}\)

\( \Rightarrow \frac{{{V_{ABMNPQ}}}}{{{V_{CDMNPQ}}}} = \frac{7}{{13}}\).