Cho tứ diện ABCD và G là trọng tâm tam giác BCD. Gọi P là trung điểm của AD, H là giao điểm của mặt phẳng (ABG) với cạnh CP, E là giao điểm BH và AG. Khi đó tỉ số AE trên AG bằng a trên b,

29/30

Cho tứ diện \[ABCD\] và \[G\]là trọng tâm tam giác \[BCD\]. Gọi \[P\] là trung điểm của \[AD\], \[H\]là giao điểm của mặt phẳng \[\left( {ABG} \right)\] với cạnh \[CP\], \[E\] là giao điểm \[BH\] và \[AG\]. Khi đó tỉ số \[\frac{{AE}}{{AG}} = \frac{a}{b}\], với \[\frac{a}{b}\] là phân số tối giản và \[a,b \in {\mathbb{N}^*}\]. Tính \[S = {a^6} + {b^6}\].

_____

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Đáp án: 4825

Lời giải

Gọi \[M\] trung điểm cạnh \[CD\].

Khi đó \[H = AM \cap CP = CP \cap \left( {ABM} \right) = CP \cap \left( {ABG} \right)\].

Xét tam giác \[ACD\] có \[H\] là trọng tâm.

Theo định lý Thales đảo: \[\frac{{MH}}{{MA}} = \frac{{MG}}{{MB}} = \frac{1}{3} \Rightarrow GH\parallel AB \Rightarrow \frac{{GH}}{{AB}} = \frac{1}{3}\].

Theo định lý Thales: \[GH\parallel AB \Rightarrow \frac{{GH}}{{AB}} = \frac{{EG}}{{EA}} = \frac{1}{3}\].

Suya ra \[\frac{{AE}}{{AG}} = \frac{3}{4}\]. Suy \[a = 3,b = 4 \Rightarrow S = {3^6} + {4^6} = 4825.\]