Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc cạnh AB . Gọi ( α ) là mặt phẳng qua M , song song với hai đường thẳng BC và AD .

37/38

(1,0 điểm) Cho tứ diện $ABCD$ và điểm $M$ thuộc cạnh $AB$. Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng qua $M$, song song với hai đường thẳng $BC$ và $AD$. Gọi $N,P,Q$ lần lượt là giao điểm của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ với các cạnh $AC,CD$ và $DB$.

a) Chứng minh $MNPQ$ là hình bình hành.

b) Trong trường hợp nào thì $MNPQ$ là hình thoi?

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho tứ diện $ABCD$ và điểm $M$ thuộc cạnh $AB$. Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng qua $M$, song song với hai đường thẳng $BC$ và $AD$. Gọi $N,P,Q$ lần lượt là giao đi (ảnh 1)$

a) $\left( \alpha \right)\,{\rm{//}}\,BC,BC \subset \left( {ABC} \right)$ và $\left( \alpha \right)$ cắt $\left( {ABC} \right)$ tại $MN$ nên $MN\,{\rm{//}}\,BC$.

$\left( \alpha \right)\,{\rm{//}}\,BC,BC \subset \left( {BCD} \right)$ và $\left( \alpha \right)$ cắt $\left( {BCD} \right)$ tại $PQ$ nên $PQ\,{\rm{//}}\,BC$.

Suy ra: $MN\,{\rm{//}}\,PQ$.

$\left( \alpha \right)\,{\rm{//}}\,AD,AD \subset \left( {ABD} \right)$ và $\left( \alpha \right)$ cắt $\left( {ABD} \right)$ tại $MQ$ nên $MQ\,{\rm{//}}\,AD$.

$\left( \alpha \right)\,{\rm{//}}\,AD,AD \subset \left( {ACD} \right)$ và $\left( \alpha \right)$ cá́t $\left( {ACD} \right)$ tại $NP$ nên $NP\,{\rm{//}}\,BC$.

Suy ra: $MQ\,{\rm{//}}\,NP$.

Do đó, $MNPQ$ là hình bình hành.

b) $MNPQ$ là hình thoi khi $MN = NP$.

Ta có: $\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{AN}}{{AC}}$

$\frac{{NP}}{{AD}} = \frac{{CN}}{{AC}}$ hay ${\rm{\;}}\frac{{MN}}{{AD}} = \frac{{CN}}{{AC}}$

Mà $\frac{{AN}}{{AC}} + \frac{{CN}}{{AC}} = 1$ nên $\frac{{MN}}{{BC}} + \frac{{MN}}{{AD}} = 1$

Suy ra: $MN = \frac{{AD.BC}}{{AD + BC}}$.