Cho tứ diện ABCD trong đó góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng alpha

a) Dễ thấy thiết diện là hình bình hành MNPQ và S_MNPQ = MN . NQ . sin \(\widehat {MNQ}\)

Do MN // AB, NQ // CD nên góc giữa MN và NQ bằng góc giữa AB và CD

Do đó sin \(\widehat {MNQ}\) = sin α

Ta có:

Vậy S_MNPQ = \(\frac{{AB.C{\rm{D}}}}{{A{C^2}}}(AC - x)x\sin \alpha \)

Từ đó diện tích thiết diện MNQR đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi x = \(\frac{{AC}}{2}\)

Như vậy, khi M là trung điểm của AC thì diện tích thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi (P) đạt giá trị lớn nhất.

b) Gọi P là nửa chu vi của thiết diện, khi đó:

Từ đó, chu vi thiết diện không phụ thuộc vào x khi và chỉ khi:

CD – AB = 0

Hay AB = CD

Vậy chu vi thiết diện nêu trên không phụ thuộc vào x khi và chỉ khi AB = CD.