Cho tứ diện ABCD , trong đó có tam giác BCD không cân. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB , CD và G là trung điểm của đoạn MN . Gọi A1 là giao điểm của AG và ( BCD ) . Kh

Mặt phẳng \[\left( {ABN} \right)\] cắt mặt phẳng \[\left( {BCD} \right)\] theo giao tuyến \[BN\,.\] Mà \[AG \subset \left( {ABN} \right)\] suy ra \[AG\] cắt \[BN\] tại điểm \[{A_1}\,.\]

Qua \[M\] dựng \[MP\]//\[A{A_1}\] với \[P \in BN\,.\] Có \[M\] là trung điểm của \[AB\] suy ra \[P\] là trung điểm \[B{A_1}\, \Rightarrow \,\,BP = P{A_1}\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right).\]

Tam giác \[MNP\] có \[MP\]//\[G{A_1}\] và \[G\] là trung điểm của \[MN\,.\] Suy ra  \[{A_1}\] là trung điểm của \[NP\,\, \Rightarrow \,\,P{A_1} = N{A_1}\,\,\,\,\left( 2 \right).\]

Từ \[\left( 1 \right),\left( 2 \right)\] suy ra \[BP = P{A_1} = {A_1}N\,\, \Rightarrow \,\,\frac{{B{A_1}}}{{BN}} = \frac{2}{3}\] mà \[N\] là trung điểm của \[CD\,.\]