Cho tứ diện ABCD trong đó có tam giác BCD không cân. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB , CD và G là trung điểm của đoạn MN . Gọi A1 là giao điểm của AG và ( BCD ) . Kh

33/76

Cho tứ diện \[ABCD\] trong đó có tam giác \[BCD\] không cân. Gọi \[M,\,\,N\] lần lượt là trung điểm của \[AB,\,\,CD\] và \[G\] là trung điểm của đoạn \[MN.\] Gọi \[{A_1}\] là giao điểm của \[AG\] và \[\left( {BCD} \right).\] Khẳng định nào sau đây đúng?

\[{A_1}\] là tâm đường tròn tam giác \[BCD\,.\]

\({A_1}\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \[BCD\,.\]

\({A_1}\) là trực tâm tam giác \[BCD\,.\]

\({A_1}\)là trọng tâm tam giác \[BCD\,.\]

Giải thích

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Mặt phẳng \[\left( {ABN} \right)\] cắt mặt phẳng \[\left( {BCD} \right)\] theo giao tuyến \[BN\,.\]

Mà \[AG \subset \left( {ABN} \right)\] suy ra \[AG\] cắt \[BN\] tại điểm \[{A_1}\,.\]

Qua \[M\] dựng \[MP\,{\rm{//}}\,A{A_1}\] với \[M \in BN\,.\]

Có \[M\] là trung điểm của \[AB\] suy ra \[P\] là trung điểm \[B{A_1}\, \Rightarrow \,\,BP = P{A_1}\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right).\]

Tam giác \[MNP\] có \[MP\,{\rm{//}}\,G{A_1}\] và \[G\] là trung điểm của \[MN\,.\]

\[ \Rightarrow \] \[{A_1}\] là trung điểm của \[NP\,\, \Rightarrow \,\,P{A_1} = N{A_1}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right).\]

Từ \[\left( 1 \right),\left( 2 \right)\] suy ra \[BP = P{A_1} = {A_1}N\,\, \Rightarrow \,\,\frac{{B{A_1}}}{{BN}} = \frac{2}{3}\] mà \[N\] là trung điểm của \[CD\,.\]

Do đó, \[{A_1}\] là trọng tâm của tam giác \[BCD\,.\]