Cho tứ diện ABCD. Lấy điểm M trên cạnh AB sao cho AM = 2MB. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD và I là trung điểm của CD, H là điểm đối xứng của G qua I. a) Chứng minh GD // (MCH).

a) Ta có: GI = IH, IC = ID nên \(\frac{{{\rm{GI}}}}{{{\rm{IH}}}} = \frac{{{\rm{ID}}}}{{{\rm{IC}}}}\). Suy ra GD // CH (định lý Thales đảo).

Mà CH Ì (MCH) nên GD // (MCH).

b) Gọi K là giao điểm của AI và MG. Khi đó, K là giao điểm của MG với (ACD).

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác BMG cát tuyến AIK ta có:

\(\frac{{{\rm{KG}}}}{{{\rm{KM}}}} \cdot \frac{{{\rm{IB}}}}{{{\rm{IG}}}} \cdot \frac{{{\rm{AM}}}}{{{\rm{AB}}}} = 1\)\( \Rightarrow \frac{{{\rm{KG}}}}{{{\rm{KM}}}} \cdot {\rm{3}} \cdot \frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}} = 1\)\( \Rightarrow \frac{{{\rm{KG}}}}{{{\rm{KM}}}} = \frac{1}{2}\). Vậy \(\frac{{{\rm{GK}}}}{{{\rm{GM}}}} = 1\).