Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M, N lần lượt trên các cạnh AB, AC sao cho đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại điểm E. Lấy điểm P nằm bên trong tam giác

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Trong mặt phẳng (ABC), đường thẳng MN cắt BC tại E. Vì điểm E thuộc đường thẳng BC mà BC nằm trong mặt phẳng (BCD) nên E thuộc mặt phẳng (BCD). Đồng thời E thuộc đường thẳng MN. Vậy E chính là giao điểm của đường thẳng MN và mặt phẳng (BCD).

b) Sai. Điểm P nằm bên trong tam giác BCD nên P không nằm trên cạnh CD. Mặt khác, mặt phẳng (MCD) giao với mặt phẳng (BCD) theo giao tuyến là đường thẳng CD. Vì P không thuộc CD nên P không thể nằm trong mặt phẳng (MCD). Do đó, P không thể là giao điểm của đường thẳng AP và mặt phẳng (MCD).

c) Đúng. Ta có E nằm trên đường thẳng MN nên E thuộc mặt phẳng (MNP). Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm E và P (đường thẳng EP) nằm hoàn toàn trong mặt phẳng (MNP). Trong mặt phẳng (BCD), đường thẳng EP cắt đường thẳng CD tại F. Vì F thuộc EP nên F cũng nằm trong mặt phẳng (MNP). Vậy F là giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng (MNP).

d) Sai. Trong mặt phẳng (ABC), đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại E.

Vì E ∊ MN mà MN nằm trong (MNP) nên E ∊ (MNP). Mặt khác, E ∊ BC. Vậy giao điểm của đường thẳng BC và mặt phẳng (MNP) chính là điểm E, không phải là điểm C.