Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, AD, BC. Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau về giao tuyến của các mặt phẳng:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Điểm M ∊ AB nên M ∊ (ABN). Mặt khác M ∊ (CDM), suy ra M là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng.

Tương tự, điểm N ∊ CD nên N ∊ (CDM) và N ∊ (ABN), suy ra N là điểm chung thứ hai. Vậy giao tuyến của (ABN) và (CDM) là MN.

b) Đúng. Hai mặt phẳng (MPQ) và (BCD) là Q (vì Q là trung điểm của BC).

Mặt phẳng (MPQ) chứa MP, mặt phẳng (BCD) chứa BD.

Trong tam giác ABD, do M và P lần lượt là trung điểm của AB và AD nên MP là đường trung bình, suy ra MP song song BD.

Áp dụng hệ quả định lí về ba đường giao tuyến: giao tuyến của hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song là đường thẳng đi qua điểm chung Q và song song với BD (và MP).

c) Sai. Hai mặt phẳng (MPQ) và (ACD) có điểm chung là P (vì P là trung điểm của AD).

Mặt phẳng (MPQ) chứa MQ, mặt phẳng (ACD) chứa AC.

Trong tam giác ABC, do M và Q lần lượt là trung điểm của AB và BC nên MQ là đường trung bình, suy ra MQ song song với AC.

Theo hệ quả định lí về ba đường giao tuyến, giao tuyến của hai mặt phẳng này phải là đường thẳng đi qua điểm chung P và song song với AC, chứ không phải song song với CD.

d) Sai. Hai mặt phẳng (MNP) và (ABC) có điểm chung là M (vì M là trung điểm của AB).

Mặt phẳng (MNP) chứa NP, mặt phẳng (ABC) chứa AC.

Trong tam giác ACD, do N và P lần lượt là trung điểm của CD và AD nên NP là đường trung bình, suy ra NP ∥ AC.

Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng phải là đường thẳng đi qua điểm chung M và song song với AC, chứ không phải song song với BC.