Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AC . Trên cạnh PD lấy điểm P sao cho DP = 2 PB . a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng ( MNP ) với các mặt

a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}MN \subset (MNP)\\AB \subset (ABD)\\MN\,\,{\rm{//}}\,\,AB\end{array} \right. \Rightarrow (MNP) \cap (ABD) = Px\,\,{\rm{//}}\,\,AB\,\,{\rm{//}}\,\,MN\)

Do đó, giao tuyến của mặt phẳng \((MNP)\) với các mặt phẳng \((ABD)\) là \(Px\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}M \in (MNP)\\M \in BC \subset (BCD)\end{array} \right. \Rightarrow M \in (MNP) \cap (BCD)\).

Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}P \in (MNP)\\P \in BD \subset (BCD)\end{array} \right. \Rightarrow P \in (MNP) \cap (BCD)\).

Do đó, giao tuyến của mặt phẳng \((MNP)\) với các mặt phẳng \((BCD)\) là \(MP\).

Vậy giao tuyến của mặt phẳng \((MNP)\) với các mặt phẳng \((ABD),\,\,(BCD)\) lần lượt là \(Px\) và \(MP\).

b) Vì \(\frac{{DQ}}{{QA}} = \frac{{DP}}{{PB}}\) nên \(PQ\,\,{\rm{//}}\,\,AB\).

Do đó \(PQ\) song song với mặt phẳng \((ABC)\).

Ta có \(Q \in (MNP)\). Do đó:

• \((MNP) \cap (ACD) = QN\)

• \((MNP) \cap (BCD) = PM\)

• \((ACD) \cap (BCD) = CD\)

Vì \(\frac{{CM}}{{MB}} \ne \frac{{DP}}{{PB}}\) nên \(DC\) cắt \(PM\) tại \(I\).

Do đó ba đường thẳng \(DC,\,\,QN,\,\,PM\) đồng quy.