Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Có bao nhiêu đường thẳng chứa các cạnh của tứ diện chéo nhau với đường thẳng MN?
Giải thích
Đáp án: 4
Tứ diện ABCD có tất cả 6 cạnh: AB, BC, CD, DA, AC, BD.
Đường thẳng MN cắt AB tại M và cắt CD tại N nên MN không chéo nhau với hai đường thẳng AB và CD.
Xét đường thẳng AC: Giả sử MN và AC đồng phẳng. Khi đó 4 điểm A, C, M, N cùng thuộc một mặt phẳng. Vì M ∊ AB nên đường thẳng AM chính là đường thẳng AB, kéo theo điểm B cũng thuộc mặt phẳng này. Tương tự, N ∊ CD nên đường thẳng CN chính là đường thẳng CD, kéo theo điểm D cũng thuộc mặt phẳng này. Như vậy A, B, C, D đồng phẳng, trái với giả thiết ABCD là hình tứ diện. Vậy MN và AC chéo nhau.
Tương tự, chứng minh được đường thẳng MN chéo nhau với các đường thẳng BC, AD và BD.