Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AC và BC . Trên cạnh BD lấy điểm P sao cho BP = 2 DP . Gọi F là giao điểm của AD và mặt phẳng ( MNP ) .

Ta chọn mặt phẳng chứa \(AD\) là \(\left( {ACD} \right)\).

\(M\) là điểm chung của hai mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) và \(\left( {MNP} \right)\).

Gọi \(CD\) cắt \(NP\) tại \(I\) nên \(\left( {ACD} \right) \cap \left( {MNP} \right) = MI\).

Gọi \(MI\) cắt \(AD\) tại \(F\) thì \(AD \cap \left( {MNP} \right) = F\).

Từ \(D\) kẻ đường thẳng song song với \(AC\) cắt \(MI\) tại \(E\)

Ta có \(\Delta DFE\) đồng dạng với \(\Delta AFM\) nên ta có \(\frac{{FA}}{{FD}} = \frac{{AM}}{{DE}} = \frac{{CM}}{{DE}}\) (1).

Ta có \(\Delta IED\) đồng dạng với \(\Delta IMC\) nên ta có \(\frac{{CM}}{{DE}} = \frac{{CI}}{{DI}}\) (2).

Từ \(D\) kẻ đường thẳng song song với \(CB\) cắt \(NI\) tại \(H\).

Ta có \(\Delta IHD\) đồng dạng với \(\Delta INC\) nên ta có \(\frac{{CI}}{{DI}} = \frac{{CN}}{{DH}} = \frac{{NB}}{{DH}}\) (3).

Ta có \(\Delta NPB\) đồng dạng với \(\Delta HPD\) nên ta có \(\frac{{NP}}{{HP}} = \frac{{BP}}{{PD}} = \frac{{NB}}{{DH}} = 2\) (4).

Từ (1), (2), (3), (4) ta suy ra \(\frac{{FA}}{{FD}} = 2\).

Đáp án cần nhập là: \(2\).