Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD và I là trung điểm của MN. Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Đúng.               d) Sai.

a) Đúng.Vì M là trung điểm của AB nên \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \).

b) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NC} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {ND} \)

\( = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} + 2\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} \)\( = 2\overrightarrow {MN} \).

c) Đúng. Vì M là trung điểm của AB nên \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = 2\overrightarrow {IM} \).

Vì N là trung điểm của CD nên \(\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = 2\overrightarrow {IN} \).

Mà I là trung điểm của MN nên \(\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IN} = \overrightarrow 0 \).

Khi đó \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = 2\overrightarrow {IM} + 2\overrightarrow {IN} = 2\left( {\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IN} } \right) = \overrightarrow 0 \).

d) Sai. Vì \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = \overrightarrow 0 \) nên \(4\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow 0 \).

Mà G là trọng tâm của tam giác BCD nên \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} \).

Do đó \(4\overrightarrow {AI} + 3\overrightarrow {AG} = \overrightarrow 0 \).