Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, N là điểm nằm trên cạnh AC sao cho AN = 2NC. Giao tuyến của hai mặt phẳng (DMN) và (DBC) là đường thẳng d. Trong mặt phẳng (ABC), đường thẳn

Đáp án: 2

Xét hai mặt phẳng (DMN) và (DBC), ta có D là điểm chung thứ nhất.

Điểm K là giao điểm của MN và BC, mà MN nằm trong (DMN) và BC nằm trong (DBC) nên K là điểm chung thứ hai.

Do đó, giao tuyến d của hai mặt phẳng chính là đường thẳng DK.

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC với cát tuyến M, N, K thẳng hàng, ta có: \(\frac{{AM}}{{MB}} \cdot \frac{{BK}}{{KC}} \cdot \frac{{CN}}{{NA}} = 1\)

Vì M là trung điểm của AB nên \(\frac{{AM}}{{MB}}\) = 1.

Vì AN = 2NC nên \(\frac{{CN}}{{NA}} = \frac{1}{2}.\)

Thay các tỉ số vào biểu thức ta được:\(1 \cdot \frac{{BK}}{{CK}} \cdot \frac{1}{2} = 1\), suy ra \(\frac{{BK}}{{CK}}\) = 2.