Cho tứ diện ABCD. Gọi M là điểm trên cạnh AB sao cho 3MB = 2MA và

28/235

Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M\) là điểm trên cạnh \(AB\) sao cho \(3MB = 2MA\) và \(N\) là trung điểm của cạnh \(CD\). Lấy \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ACD\). Đường thẳng \(MG\) cắt mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) tại điểm \(P\). Khi đó tỷ số \(\frac{{PB}}{{PN}}\) bằng:

\(\frac{{133}}{{100}}\).

\(\frac{5}{4}\).

\(\frac{{667}}{{500}}\).

\(\frac{4}{3}\).

Giải thích

Cách 1.Trong mặt phẳng \(\left( {ABN} \right)\), dựng đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(B\) và song song với \(AN\), \(d\) cắt \(PM\) ở \(E\).

Cho tứ diện ABCD. Gọi M là điểm trên cạnh AB sao cho 3MB = 2MA và (ảnh 1)

Xét \(\Delta BPE\) có \(GN\,{\rm{//}}\,BE\) nên \(\frac{{PB}}{{PN}} = \frac{{BE}}{{GN}} = \frac{{BE}}{{\frac{1}{2}AG}} = 2\frac{{BE}}{{AG}}\).

Lại có \(AN\,{\rm{//}}\,BE\) nên \(\frac{{BE}}{{AG}} = \frac{{MB}}{{MA}} = \frac{2}{3}\). Vậy \(\frac{{PB}}{{PN}} = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}\).

Cách 2.Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác \(ABN\), ta có: \(\frac{{MA}}{{MB}} \cdot \frac{{PB}}{{PN}} \cdot \frac{{GN}}{{GA}} = 1\).

Khi đó, \(\frac{3}{2} \cdot \frac{{PB}}{{PN}} \cdot \frac{1}{2} = 1\). Từ đó suy ra \(\frac{{PB}}{{PN}} = \frac{4}{3}\). Chọn D.