Cho tứ diện ABCD . Gọi M là điểm trên cạnh AB sao cho 3 MB = 2 MA và N là trung điểm của cạnh CD . Lấy G là trọng tâm của tam giác ACD . Đường thẳng M G cắt mặt phẳng ( BCD )

28/50

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$ là điểm trên cạnh $AB$ sao cho $3MB = 2MA$ và $N$ là trung điểm của cạnh $CD$. Lấy $G$ là trọng tâm của tam giác $ACD$. Đường thẳng $MG$ cắt mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$ tại điểm $P$. Khi đó tỷ số $\frac{{PB}}{{PN}}$ bằng:

$\frac{{133}}{{100}}$.

$\frac{5}{4}$.

$\frac{{667}}{{500}}$.

$\frac{4}{3}$.

Giải thích

$Cách 1. Trong mặt phẳng \ (ảnh 1)$

Cách 1. Trong mặt phẳng $\left( {ABN} \right)$, dựng đường thẳng $d$ đi qua điểm $B$ và song song với $AN$, $d$ cắt $PM$ ở $E$.

Xét $\Delta BPE$ có $GN\,{\rm{//}}\,BE$ nên $\frac{{PB}}{{PN}} = \frac{{BE}}{{GN}} = \frac{{BE}}{{\frac{1}{2}AG}} = 2\frac{{BE}}{{AG}}$.

Lại có $AN\,{\rm{//}}\,BE$ nên $\frac{{BE}}{{AG}} = \frac{{MB}}{{MA}} = \frac{2}{3}$. Vậy $\frac{{PB}}{{PN}} = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$.

Cách 2.Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác $ABN$, ta có: $\frac{{MA}}{{MB}} \cdot \frac{{PB}}{{PN}} \cdot \frac{{GN}}{{GA}} = 1$.

Khi đó, $\frac{3}{2} \cdot \frac{{PB}}{{PN}} \cdot \frac{1}{2} = 1$. Từ đó suy ra $\frac{{PB}}{{PN}} = \frac{4}{3}$. Chọn D.