Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD và M là trung điểm của cạnh AB. Đường thẳng MG cắt mặt phẳng (ACD) tại điểm N. Tính tỉ số \(\frac{{MN}}{{MG}}\).

Đáp án: 3

Gọi E là trung điểm của CD. Vì G là trọng tâm tam giác BCD nên G thuộc BE và BG = 2GE.

Trong mặt phẳng (ABE), kéo dài MG cắt AE tại N. Vì AE nằm trong (ACD) nên N chính là giao điểm của MG và mặt phẳng (ACD).

Kẻ đường thẳng qua M song song với BE, cắt AE tại H. Vì M là trung điểm AB nên MH là đường trung bình của tam giác ABE, suy ra MH = \(\frac{1}{2}\) BE.

Xét tam giác NMH có GE song song MH (do G thuộc BE). Theo hệ quả định lý Thales: \(\frac{{NG}}{{NM}} = \frac{{GE}}{{MH}}\).

Ta có GE = \(\frac{1}{3}\) BE và MH = \(\frac{1}{2}\)BE, suy ra\(\frac{{GE}}{{MH}} = \frac{1}{3}:\frac{1}{2} = \frac{2}{3}\). Suy ra \(\frac{{NG}}{{NM}}\)=\(\frac{2}{3}\).

Như vậy NM chiếm 3 phần, NG chiếm 2 phần, dẫn đến MG = NM - NG chiếm 1 phần.

Vậy tỉ số \(\frac{{MN}}{{MG}}\)= 3.