Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm của tam giác BCD. Tìm hệ thức liên hệ giữa −−→ AG và −−→ AB , −−→ AC , −−→ AD .

51/95

Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm của tam giác BCD. Tìm hệ thức liên hệ giữa $\overrightarrow {{\rm{AG}}} $ và $\overrightarrow {{\rm{AB}}} ,\;\,\overrightarrow {{\rm{AC}}} ,\;\,\overrightarrow {{\rm{AD}}} $.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Lời giải: Vậy \(\overrightarrow {{\rm{AG}} (ảnh 1)$

Gọi M là trung điểm của CD. Do G là trọng tâm DBCD nên $\overrightarrow {{\rm{BG}}} = \frac{2}{3}\overrightarrow {{\rm{BM}}} $.

Ta có: $\overrightarrow {{\rm{AG}}} = \overrightarrow {{\rm{AB}}} + \overrightarrow {{\rm{BG}}} $

$ = \overrightarrow {{\rm{AB}}} + \frac{2}{3}\overrightarrow {{\rm{BM}}} $

$ = \overrightarrow {{\rm{AB}}} + \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {{\rm{BA}}} + \overrightarrow {{\rm{AM}}} } \right)$

$ = \overrightarrow {{\rm{AB}}} + \frac{2}{3}\overrightarrow {{\rm{BA}}} + \frac{2}{3}\overrightarrow {{\rm{AM}}} $

$ = \frac{1}{3}\overrightarrow {{\rm{AB}}} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {{\rm{AM}}} + \overrightarrow {{\rm{AM}}} } \right)$

$ = \frac{1}{3}\overrightarrow {{\rm{AB}}} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {{\rm{AC}}} + \overrightarrow {{\rm{CM}}} + \overrightarrow {{\rm{AD}}} + \overrightarrow {{\rm{DM}}} } \right)$

$ = \frac{1}{3}\overrightarrow {{\rm{AB}}} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {{\rm{AC}}} + \overrightarrow {{\rm{AD}}} + \overrightarrow {\rm{0}} } \right)$

$ = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {{\rm{AB}}} + \overrightarrow {{\rm{AC}}} + \overrightarrow {{\rm{AD}}} } \right)$.

Vậy $\overrightarrow {{\rm{AG}}} $$ = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {{\rm{AB}}} + \overrightarrow {{\rm{AC}}} + \overrightarrow {{\rm{AD}}} } \right)$.