Cho tứ diện ABCD, E là trung điểm của đoạn thẳng AC. Mặt phẳng (P) qua E ∈ AC, song song với AB và CD, cắt các cạnh BC, BD, AD lần lượt tại F, G, H.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Vì E, H ∈ (ACD) và E, H ∈ (P), nên EH là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (ACD).

Lại có CD ⊂ (ACD) và CD ∥ (P), nên EH ∥ CD.

b) Sai. Vì F, G ∈ (BCD) và F, G ∈ (P), nên FG là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (BCD).

Mặt khác, CD ⊂ (BCD) và CD ∥ (P), nên FG ∥ CD.

Do đó khẳng định FG ∥ AB là sai.

c) Đúng. Theo câu a), ta có: EH ∥ CD.

Theo câu b), ta có: FG ∥ CD.

Suy ra EH ∥ FG.

Mặt khác, GH là giao tuyến của (P) với (ABD). Vì AB ⊂ (ABD) và AB ∥ (P), nên GH ∥ AB. (1)

Đồng thời, EF là giao tuyến của (P) với (ABC). Vì AB ⊂ (ABC) và AB ∥ (P), nên EF ∥ AB. (2)

Từ (1), (2), suy ra EF ∥ GH.

Vậy thiết diện EFGH có hai cặp cạnh đối song song, nên EFGH là hình bình hành.

d) Đúng. Vì GH là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (ABD), mà AB ⊂ (ABD) và AB ∥ (P), nên GH ∥ AB.