Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 1. Gọi M , N , P lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC , ACD , ABD . Tính thể tích của tứ diện AMNP .

29/49

Cho tứ diện \[ABCD\] có thể tích bằng 1. Gọi \[M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}P\] lần lượt là trọng tâm của tam giác \[ABC,{\rm{ }}ACD,{\rm{ }}ABD.\] Tính thể tích của tứ diện \[AMNP.\]

$\frac{1}{{27}}.$

$\frac{2}{9}.$

$\frac{1}{3}.$

$\frac{2}{{27}}.$

Giải thích

$Cho tứ diện \[ABCD\] có thể tích bằng 1. Gọi \[M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}P\] lần lượt là trọng tâm của tam giác \[ABC,{\rm{ }}ACD,{\rm{ }}ABD. (ảnh 1)$

Gọi \[E,\,\,F,\,\,G\] lần lượt là trung điểm của \[BC,\,\,CD\] và \[DB.\]

Ta có ${S_{EFG}} = \frac{1}{4}{S_{BCD}} \Rightarrow {V_{A.GEF}} = \frac{1}{4}{V_{A.BCD}} = \frac{1}{4}.$

$\frac{{{V_{AMNP}}}}{{{V_{AEFG}}}} = \frac{{AM}}{{AE}} \cdot \frac{{AN}}{{AF}} \cdot \frac{{AP}}{{AG}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{{27}}$.

$ \Rightarrow {V_{AMNP}} = \frac{8}{{27}}{V_{AEFG}} = \frac{2}{{27}}.$ Chọn D.