Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng 4 , I là trung điểm của AC , J là một điểm trên cạnh AD sao cho AJ = 2 JD . ( P ) là mặt phẳng chứa IJ và song song với AB .

35/39

Cho tứ diện $ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $4$, $I$ là trung điểm của $AC$, $J$ là một điểm trên cạnh $AD$ sao cho $AJ = 2JD$. $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa $IJ$ và song song với $AB$. Tính diện tích của hình tạo bởi các giao tuyến của tứ diện với mặt phẳng $\left( P \right)$.

\[\frac{{\sqrt {51} }}{3}\].

\[\frac{{\sqrt {31} }}{3}\].

\[\frac{{5\sqrt {51} }}{9}\].

\[\frac{{5\sqrt {51} }}{{144}}\].

Giải thích

Chọn C

$Chọn C Diện tích hình thang cân \(IJM (ảnh 1)$

Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $IJ$ và song song với $AB$

Suy ra $\left( P \right)$ cắt $BD,BC$ lần lượt tại $M,N$ sao cho

$IN{\rm{ // }}AB{\rm{ // }}JM$.

Thiết diện tạo bởi mặt phẳng $\left( P \right)$ và tứ diện $ABCD$ là tứ giác $IJMN$.

Nhận xét: tứ giác $IJMN$ là hình thang cân có 2 đáy $IN{\rm{ // }}JM$ và

$IN = \frac{1}{2}AB = 2;{\rm{ }}JM = \frac{1}{3}AB = \frac{4}{3}$.

$IJ = MN = \sqrt {B{M^2} + B{N^2} - 2BM.BN.\cos {{60}^0}} = \frac{{2\sqrt {13} }}{3}$.

Ta có \[JH\] là đường cao của hình thang cân $IJMN \Rightarrow JH = \sqrt {I{J^2} - I{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{14}}{3}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {51} }}{3}$

Diện tích hình thang cân $IJMN$: ${S_{IJMN}} = \frac{1}{2}\left( {JM + IN} \right)JH = \frac{{5\sqrt {51} }}{9}$