Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC cân tại A , tam giác BCD cân tại D . Gọi I là trung điểm cạnh BC . a) Chứng minh rằng BC ⊥ ( AID ) .

a) Vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(AI\) là trung tuyến nên \(AI\) đồng thời là đường cao, do đó \(AI \bot BC\). (1)

Vì tam giác \(BCD\) cân tại \(D\) có \(DI\) là trung tuyến nên \(DI\) đồng thời là đường cao, do đó \(DI \bot BC\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(BC \bot \left( {AID} \right)\).

b) Vì \(AH\) là đường cao của tam giác \(AID\) nên \(AH \bot ID\).

Lại có \(BC \bot \left( {AID} \right)\) nên \(BC \bot AH\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot ID\\AH \bot BC\\ID,\,BC \subset \left( {BCD} \right)\\ID \cap BC = I\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {BCD} \right)\).

Từ đó suy ra \(AH \bot BD\).