Cho tứ diện ABCD có M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, BC. Gọi P là điểm thuộc cạnh CD sao cho

26/150

Cho tứ diện ABCD có M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, BC. Gọi P là điểm thuộc cạnh CD sao cho \[CP = 2PD\]và Q là điểm thuộc cạnh AD sao cho bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Q là trung điểm của đoạnthẳngAC

\[DQ = 2AQ\]

\[AQ = 2DQ\]

\[AQ = 3DQ\]

Giải thích

Phương pháp giải: Xác định thiết diện của mặt tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng \[\left( {MNP} \right)\]..

Giải chi tiết:

Cho tứ diện ABCD có M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, BC. Gọi P là điểm thuộc cạnh CD sao cho (ảnh 1)

Xét mặt phẳng \[\left( {MNP} \right)\] và mặt phẳng \[\left( {ACD} \right)\] có:

P chung

\[MN \subset \left( {MNP} \right);{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} AC \subset \left( {ACD} \right);{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} MN//AC\](do MN là đường trung bình của tam giác ABC)

⇒ Giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( {MNP} \right)\] và \[\left( {ACD} \right)\] là đường thẳng qua P và song song với AC.

Trong \[\left( {ACD} \right)\] kẻ \[PQ//AC{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {Q \in AD} \right)\], khi đó M, N, P, Q đồng phẳng.

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \[\frac{{AQ}}{{DQ}} = \frac{{CP}}{{DP}} = 2 \Rightarrow AQ = 2DQ\]

Chọn đáp án C.