Cho tứ diện ABCD có góc BAC = 30 độ, góc CAD = 45 độ, góc DAB = 60 độ. Gọi α = [B, AD, C] thì giá trị của cos α bằng bao nhiêu?

21/22

Cho tứ diện $ABCD$ có $\widehat {BAC} = 30^\circ ,\widehat {CAD} = 45^\circ ,\widehat {DAB} = 60^\circ $. Gọi $\alpha = \left[ {B,AD,C} \right]$ thì giá trị của $\cos \alpha $ bằng bao nhiêu? (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)

Nhập câu trả lời ở đây

Giải thích

$+) Vậy ta có tổng cộng \[\left( {1 + 3} (ảnh 1)$

Chọn điểm $M \in AD$ sao cho $MP \bot AD$ tại $M$, $MQ \bot AD$ tại $M$.

Khi đó $\left[ {B,AD,C} \right] = \left[ {P,AD,Q} \right] = \widehat {PMQ}$.

Giả sử $AM = a$. Xét $\Delta MAQ$ vuông tại $M$ ta có:

$MQ = AM.\tan 45^\circ = a$, $AQ = \sqrt {A{M^2} + M{Q^2}} = a\sqrt 2 $.

Xét $\Delta MAP$ vuông tại $M$ ta có: $MP = AM.\tan 60^\circ = a\sqrt 3 $, $AP = \sqrt {A{M^2} + M{P^2}} = 2a$.

Xét $\Delta APQ$ ta có: $P{Q^2} = A{P^2} + A{Q^2} - 2.AP.AQ.\cos \widehat {PAQ} = \left( {6 - 2\sqrt 6 } \right){a^2}$.

Xét $\Delta MPQ$, ta có: $\cos \widehat {PMQ} = \frac{{M{Q^2} + M{P^2} - P{Q^2}}}{{2.MP.MQ}} = \frac{{3\sqrt 2 - \sqrt 3 }}{3}$.

Vậy $\cos \alpha = \cos \widehat {MPQ} \approx 0,84$.