Cho tứ diện ABCD có độ dài các cạnh AB = AC = AD = BC = BD = a

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Gọi I, K, H lần lượt là trung điểm các cạnh DC, DB, AB. Chứng minh \((AD,BC) = (KH,KI)\).

Từ đó tính các cạnh HI, KI, KH từ đó suy ra \(\widehat {IKH} \Rightarrow (KI,KH)\).

Lời giải

Gọi I, K, H lần lượt là trung điểm các cạnh DC, DB, AB.

Khi đó: \(KH//AD,KI//BC \Rightarrow (AD;BC) = (KH;KI)\).

Xét \(\Delta BIC,BI = \sqrt {B{C^2} - A{C^2}} = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{2}} = \frac{a}{{\sqrt 2 }}\).

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB \bot DH}\\{AB \bot HC}\end{array} \Rightarrow AB \bot (DHC) \Rightarrow AB \bot HI} \right.\).

Xét \(\Delta BIH,HI = \sqrt {I{B^2} - H{B^2}} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{a}{2}\). (1)

Xét \(\Delta IHK\), ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{IK = \frac{{BC}}{2} = \frac{a}{2}}\\{HK = \frac{{AD}}{2} = \frac{a}{2}}\end{array} \Rightarrow IK = HK = \frac{a}{2}} \right.\). (2)

Từ \((1),(2) \Rightarrow HI = IK = HK \Rightarrow \Delta IHK\) là tam giác đều \( \Rightarrow \widehat {IKH} = {60^\circ } \Rightarrow (KH;KI) = {60^\circ }\).