Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC,DBC là các tam giác đều có độ dài cạnh bằng 1 và

17/234

Cho tứ diện \(ABCD\) có các mặt \(ABC,DBC\) là các tam giác đều có độ dài cạnh bằng 1 và \(AD = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\). Khoảng cách từ \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\).

\(\frac{3}{{\sqrt {13} }}\).

\(\frac{2}{{\sqrt {13} }}\).

\(\frac{1}{{\sqrt {13} }}\).

\(\frac{4}{{\sqrt {13} }}\).

Giải thích

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Lời giải

Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC,DBC là các tam giác đều có độ dài cạnh bằng 1 và (ảnh 1)

Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(AD\)

Khi đó \(AM = MD = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \Delta AMD\) là tam giác đều

Ta có \({S_{AMD}} = \frac{{{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{16}}\)

Lại có \(V = \frac{1}{3}.{S_{ABD}}.d\left( {C;\left( {ABD} \right)} \right) = \frac{1}{3}.{S_{AMD}}.BC = \frac{{\sqrt 3 }}{{16}}\).

\({S_{ABD}} = \frac{{\sqrt {39} }}{{16}} \Rightarrow d\left( {C;\left( {ABD} \right)} \right) = \frac{{3V}}{{{S_{ABD}}}} = \frac{3}{{\sqrt {13} }}\).