Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB,AC và AD đôi một vuông góc với nhau; AB = 6a, AC = 7a và AD = 4a. Gọi M,N,P tương ứng là trung điểm các cạnh BC, CD, BD Tính thể tích V của tứ diện AMNP

52/78

Cho tứ diện \(ABCD\) có các cạnh \(AB,{\rm{ }}AC\) và \(AD\) đôi một vuông góc với nhau; \(AB = 6a,\,{\rm{ }}AC = 7a\) và \(AD = 4a.\) Gọi \(M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}P\) tương ứng là trung điểm các cạnh \(BC,{\rm{ }}\,CD,\,{\rm{ }}BD.\) Tính thể tích \(V\) của tứ diện \(AMNP.\)

\(V = \frac{7}{2}{a^3}.\)

\(V = 14{a^3}.\)

\(V = \frac{{28}}{3}{a^3}.\)

\(V = 7{a^3}.\)

Giải thích

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB,AC và AD đôi một vuông góc với nhau; AB = 6a, AC = 7a và AD = 4a. Gọi M,N,P tương ứng là trung điểm các cạnh BC, CD, BD Tính thể tích V của tứ diện AMNP (ảnh 1)

Do \(AB,{\rm{ }}AC\) và \(AD\) đôi một vuông góc với nhau nên

\[{V_{ABCD}} = \frac{1}{6}AB.AC.AD = \frac{1}{6}.6a.7a.4a = 28{a^3}.\]

Dễ thấy \[{S_{\Delta MNP}} = \frac{1}{4}{S_{\Delta BCD}}\].

Suy ra \[{V_{AMNP}} = \frac{1}{4}{V_{ABCD}} = 7{a^3}\].