Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác vuông tại đỉnh B, cạnh \(CD = a,BD = a căn bậc hai 6

93/235

Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác vuông tại đỉnh $B$, cạnh $CD = a,BD = \frac{{a\sqrt 6 }}{3},AB = AC = AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$. Tính cosin của góc nhị diện $\left[ {{\rm{A}},{\rm{BC}},{\rm{D}}} \right]$.

$\frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

$\frac{1}{2}$.

$\frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

$ - \frac{1}{2}$.

Giải thích

Phương pháp giài

Xác định góc nhị diện $\left[ {{\rm{A}},{\rm{BC}},{\rm{D}}} \right]$.

Giải chi tiết

$Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác vuông tại đỉnh $B$, cạnh \(CD = a,BD = a căn bậc hai 6 (ảnh 1)$

Gọi ${\rm{M}},{\rm{H}}$ lằn lượt là trung điểm của ${\rm{BC}},{\rm{C}}{\bf{D}}.$
Do vuông tại $B$ nên $BH = CH = DH$ hay $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp .
Mà $AB = AC = AD$ nên $AH$ là đường cao kẻ từ $A$ xuống ( $BCD$ ) hay $AH \bot \left( {BCD} \right)$.
$ \Rightarrow AH \bot BC$.
${\rm{M}},{\rm{H}}$ là trung điểm của ${\rm{BC}},{\rm{CD}}$ nên MH là đường trung bình của
$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{l}}{MH = \frac{1}{2}BD = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}}\\{MH//BD}\end{array}$.
Mà $MD \bot BC$ nên $MH \bot BC$. (2)
Từ (1), (2) suy ra: $BC \bot \left( {AMH} \right)$.
Suy ra: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AM}\\{RC \bot MH}\end{array} \Rightarrow \left[ {A,BC,D} \right] = \angle AMH$.

Lại có: $AH = \sqrt {A{C^2} - C{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
${\rm{tan}}\angle AMH = \frac{{AH}}{{MH}} = \sqrt 3 \Rightarrow \angle AMH = \frac{\pi }{3} \Rightarrow {\rm{cos}}\angle AMH = \frac{1}{2}$.

Đáp án cần chọn là: B