Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác vuông tại đỉnh B

35/235

Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác vuông tại đỉnh \(B\), cạnh \(CD = a,BD = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\), \(AB = AC = AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Tính cosin của góc nhị diện [A, BC, D].

\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

\(\frac{1}{2}\).

\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

\( - \frac{1}{2}\).

Giải thích

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Xác định góc nhị diện [A, BC, D].

Lời giải

Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác vuông tại đỉnh B (ảnh 1)

Gọi M, H lần lượt là trung điểm của BC, CD.

Do \(\Delta BCD\) vuông tại \(B\) nên \(BH = CH = DH\) hay \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta BCD\).

Mà \(AB = AC = AD\) nên AH là đường cao kẻ từ \(A\) xuống \((BCD)\) hay \(AH \bot (BCD)\).

\( \Rightarrow AH \bot BC.\) (1)

M, H là trung điểm của BC, CD nên MH là đường trung bình của \(\Delta BCD\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{MH = \frac{1}{2}BD = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}.}\\{MH//BD}\end{array}} \right.\)

Mà \(MD \bot BC\) nên \(MH \bot BC\). (2)

Từ (1), (2) suy ra: \(BC \bot (AMH)\).

Suy ra: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AM}\\{BC \bot MH}\end{array} \Rightarrow [A,BC,D] = \widehat {AMH}} \right.\).

Lại có: \(AH = \sqrt {A{C^2} - C{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

\( \Rightarrow \tan \widehat {AMH} = \frac{{AH}}{{MH}} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {AMH} = \frac{\pi }{3} \Rightarrow \cos \widehat {AMH} = \frac{1}{2}.\)