Cho tứ diện ABCD có \(AC = AD = BC = BD = a\)và hai mặt phẳng (ACD),(BCD) vuông góc với nhau.

Phương pháp giải

Mối quan hệ vuông góc.

Giải chi tiết

Gọi H là trung điểm của CD suy ra\(AH \bot CD\).

Mà \((ACD) \bot (BCD),\quad (ACD) \cap (BCD) = CD\)nên\(AH \bot (BCD)\).

Gọi M là trung điểm của AB nên\(CM \bot AB\).

Lại có \((ABC) \bot (ABD),\quad (ABC) \cap (ABD) = AB\)suy ra \[CM \bot DM.\]

Do đó tam giác CMD vuông cân tại M.

Đặt CD=x thì

\(A{H^2} = B{H^2} = {a^2} + \frac{{{x^2}}}{4}.\)

Suy ra\(A{B^2} = A{H^2} + B{H^2} = 2{a^2} + \frac{{{x^2}}}{2}.\)

Ta có \(MH = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt {2{a^2} + \frac{{{x^2}}}{2}} .\)

Mặt khác \(MH = \frac{{\sqrt 2 }}{2}CD = \frac{{\sqrt 2 }}{2}x.\)

Do đó \(\frac{1}{2}\sqrt {2{a^2} + \frac{{{x^2}}}{2}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}x \Rightarrow 4{a^2} = 3{x^2} \Rightarrow x = \frac{2}{{\sqrt 3 }}a.\)

Vậy\(CD = \frac{2}{{\sqrt 3 }}a\).

Đáp án cần chọn: A.