Cho tứ diện ABCD có AC = AD = BC = BD = a

39/235

Cho tứ diện ABCD có \(AC = AD = BC = BD = a\) và hai mặt phẳng \((ACD),(BCD)\) vuông góc với nhau. Tính độ dài cạnh CD sao cho hai mặt phẳng \((ABC),(ABD)\) vuông góc với nhau.

\(\frac{2}{{\sqrt 3 }}a\)

\(\frac{1}{{\sqrt 3 }}a\).

\(\frac{1}{2}a\).

\(\sqrt 3 a\).

Giải thích

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Mối quan hệ vuông góc.

Lời giải

Cho tứ diện ABCD có AC = AD = BC = BD = a (ảnh 1)

Gọi \(H\) là trung điểm của CD suy ra \(AH \bot CD\)

Mà \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(ACD) \bot (BCD)}\\{(ACD) \cap (BCD) = CD}\end{array}} \right.\)

Suy ra \(AH \bot (BCD)\).

Gọi \(M\) là trung điểm AB nên \(CM \bot AB\)

Và \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(ABC) \bot (ABD)}\\{(ABC) \cap (ABD) = AB}\end{array} \Rightarrow CM \bot DM} \right.\).

\(\Delta ABC = \Delta ABD \Rightarrow MC = DM \Rightarrow \Delta MCD\) vuông cân tại \(M\).

Đặt \(CD = x \Rightarrow A{H^2} = B{H^2} = {a^2} + \frac{{{x^2}}}{4} \Leftrightarrow A{B^2} = A{H^2} + B{H^2} = 2{a^2} + \frac{{{x^2}}}{2}\).

Ta có

\(MH = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt {2{a^2} + \frac{{{x^2}}}{2}} \Leftrightarrow MH = \frac{{\sqrt 2 }}{2}CD \Leftrightarrow \sqrt {2{a^2} + \frac{{{x^2}}}{2}} .\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}x \Leftrightarrow 4{a^2} = 3{x^2} \Leftrightarrow x = \frac{2}{{\sqrt 3 }}a.\)