Cho tứ diện ABCD có ABC, ABD, ACD là các tam giác vuông tương ứng tại A, B, C. Góc giữa AD và (ABC) bằng

Dựng hình chữ nhật ABHC ta có:

{AB⊥BDAB⊥BH⇒AB⊥(BDH)⇒AB⊥DH

{AC⊥CHAC⊥CD⇒AC⊥(CDH)⇒AC⊥DH

⇒DH⊥(ABCD)

⇒ AH là hình chiếu của AD lên (ABC) ⇒∠(AD;(ABC))=∠(AD;AH)=∠DAH=450.

Ta có: {BC⊥DH(DH⊥(ABCD))BC⊥AD(gt)⇒BC⊥(ADH)⇒BC⊥AH.

⇒ABHC là hình vuông (Tứ giác có hai đường chéo vuông góc).

Gọi O=AH∩BC, trong (ADH) kẻ OK⊥AD(K∈AD) ta có:

{OK⊥ADOK⊥BC(BC⊥(ADH))⇒d(AD;BC)=OK=a.

Xét tam giác OKA vuông tại K có ∠OAK=450 nên tam giác OAK vuông cân tại K \[ \Rightarrow OA = OK\sqrt 2 = a\sqrt 2 \].

⇒AH=2OA=22a.

Lại có tam giác AHD vuông cân tại H nên HD=AH=22a.

Ta có: SABHC=12AH2=12(22a2)=4a2⇒SABC=2a2.

Vậy VABCD=13HD.SABC=13.22a.2a2=42a33.

Đáp án D.