Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 5, AC = BD = căn bậc hai của 34, BC = AD = căn bậc hai của 41. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Hãy cho biết các phát biểu sau là đúng hay sai.

Đáp án đúng là: Mệnh đề 1: Đúng. Mệnh đề 2: Đúng.

Phương pháp giải:

Xét các tam giác có các mặt tương ứng bằng nhau (trường hợp cạnh - cạnh - cạnh). Sử dụng tính chất tam giác cân để chứng minh MN vuông góc với cả hai cạnh AB và CD.

Lời giải chi tiết:

Mệnh đề 1: Đúng.

Xét \(\Delta ABC\) có các cạnh: \(AB = 5\), \(BC = \sqrt {41} \), \(AC = \sqrt {34} \).

Xét \(\Delta ABD\) có các cạnh: \(AB = 5\), \(BD = \sqrt {34} \), \(AD = \sqrt {41} \).

Ta thấy bộ ba cạnh của hai tam giác này bằng nhau tương ứng. Do đó \(\Delta ABC = \Delta BAD\) (c - c - c).

Mệnh đề 2: Đúng.

Vì \(\Delta ACD = \Delta BDC\) (c - c - c) nên hai đường trung tuyến tương ứng kẻ từ A và B xuống CD bằng nhau: \(AN = BN\).

Tam giác ANB cân tại N. Do M là trung điểm đáy AB nên trung tuyến đồng thời là đường cao, suy ra \(NM \bot AB\) (1).

Chứng minh tương tự, ta có \(\Delta CAB = \Delta DAB \Rightarrow CM = DM\), suy ra tam giác MCD cân tại M.

Do N là trung điểm đáy CD nên \(MN \bot CD\) (2).

Từ (1) và (2), MN là đường vuông góc chung của AB và CD.