Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và AD . Biết MN = a √ 3 . Góc giữa AB và CD bằng

24/38

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = CD = 2a$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $AD$. Biết $MN = a\sqrt 3 $. Góc giữa $AB$ và $CD$ bằng

$45^\circ $.

$30^\circ $.

$90^\circ $.

$60^\circ $.

Giải thích

Đáp án đúng là: D

$Đáp án đúng là: B Vì $MN{\rm{//}}M'N'$ nên $\left( {MN,\,\,M'P'} \right) = \left( {M'N',\,M'P'} \right) = \widehat {N'M'P'} = 45^\circ $. (ảnh 1)$

Gọi $E$ là trung điểm của $BD$.

Khi đó ta có $ME,\,\,NE$ lần lượt là đường trung bình của các tam giác $BCD,\,\,ABD$.

Suy ra $ME{\rm{//}}CD,\,NE{\rm{//}}AB$. Do đó, $\left( {AB,\,CD} \right) = \left( {NE,\,ME} \right)$.

Ta có $ME = \frac{{CD}}{2} = \frac{{2a}}{2} = a,\,\,NE = \frac{{AB}}{2} = \frac{{2a}}{2} = a$.

Áp dụng hệ quả của định lí côsin trong tam giác $MNE$ ta có

$\cos \widehat {MEN} = \frac{{M{E^2} + N{E^2} - M{N^2}}}{{2ME \cdot NE}} = \frac{{{a^2} + {a^2} - {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}}{{2 \cdot a \cdot a}} = \frac{{ - 1}}{2}$.

Suy ra $\widehat {MEN} = 120^\circ $.

Khi đó, $\left( {NE,\,ME} \right) = 180^\circ - \widehat {MEN} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ $.

Vậy $\left( {AB,\,CD} \right) = 60^\circ $.